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<title>NARCH-Modell</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">NARCH-Modell</span></h1>
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</div>
<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Das <b>NARCH-Modell</b> (NARCH, <a href="Akronym" title="Akronym">Akronym</a> für: <i><b>N</b>onparametric <b>A</b>uto<b>R</b>egressive <b>C</b>onditional <b>H</b>eteroscedasticity</i>, <a href="Deutsche_Sprache" title="Deutsche Sprache">deutsch</a> <i>nichtparametrische autoregressive bedingte Heteroskedastizität</i>) bzw. <b>nichtparametrisches autoregressives Modell mit bedingter Heteroskedastizität</b> ist ein stochastisches Modell zur <a href="Zeitreihenanalyse" title="Zeitreihenanalyse">Zeitreihenanalyse</a>. Verwandt ist dieses Modell mit den parametrischen ARCH- beziehungsweise <a href="GARCH-Modelle" title="GARCH-Modelle">GARCH-Modellen</a> (General AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity). Anders als für ein <a href="Parametrisches_Modell_(Statistik)" class="mw-redirect" title="Parametrisches Modell (Statistik)">parametrisches Modell</a> wird in diesem nichtparametrischen Modell keine Anforderung an die Struktur der zugrundeliegenden Gesetzmäßigkeit gestellt.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition">Definition</h2></div>
<p>Gegeben sei eine reellwertige Zeitreihe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{S_{t}\}_{t\in \mathbb {Z} }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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<msub>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{S_{t}\}_{t\in \mathbb {Z} }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc9b641b9e7304d880156d63a840628bd2add150.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.594ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{S_{t}\}_{t\in \mathbb {Z} }}" loading="lazy"></span>. Das Modell
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}S_{t}=\mu (S_{t-1},\dotsc ,S_{t-p})+\sigma (S_{t-1},\dotsc ,S_{t-q})\epsilon _{t}\end{aligned}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true">
<mtr>
<mtd>
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<mo>,</mo>
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<mo>−<!-- − --></mo>
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<mi>t</mi>
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<mn>1</mn>
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<mo>,</mo>
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<mo>,</mo>
<msub>
<mi>S</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>t</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
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</msub>
</mtd>
</mtr>
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</mrow>
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</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}S_{t}=\mu (S_{t-1},\dotsc ,S_{t-p})+\sigma (S_{t-1},\dotsc ,S_{t-q})\epsilon _{t}\end{aligned}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dea83b548f6890ef90a4f4b8d34b563925d6644a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:44.762ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}S_{t}=\mu (S_{t-1},\dotsc ,S_{t-p})+\sigma (S_{t-1},\dotsc ,S_{t-q})\epsilon _{t}\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>heißt <i>NARCH(p,q)-Modell</i>. Dabei bezeichnet <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \mu }">
<semantics>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \mu }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9fd47b2a39f7a7856952afec1f1db72c67af6161.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \mu }" loading="lazy"></span> die Trendfunktion, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sigma }">
<semantics>
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</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \sigma }" loading="lazy"></span> die <a href="Volatilit%C3%A4t" title="Volatilität">Volatilitätsfunktion</a> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \epsilon _{t}}">
<semantics>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \epsilon _{t}}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f1ff4ca7b5c076264ecd5bbc087863a23c4dfb9a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.77ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \epsilon _{t}}" loading="lazy"></span> den Rauschterm, der aus einer Folge <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\epsilon _{t}\}_{t\in \mathbb {Z} }}">
<semantics>
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<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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<msub>
<mo fence="false" stretchy="false">}</mo>
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</mrow>
</msub>
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</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\epsilon _{t}\}_{t\in \mathbb {Z} }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4ced71ffe901a73cef67cbcf0a302a1b08dbf733.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.113ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\epsilon _{t}\}_{t\in \mathbb {Z} }}" loading="lazy"></span> <a href="Unabh%C3%A4ngig_und_identisch_verteilte_Zufallsvariablen" title="Unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen">unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen</a> (<a href="Englische_Sprache" title="Englische Sprache">englisch</a> independent identical distributed, iid) mit <a href="Median" title="Median">Median</a> Null und <a href="Varianz_(Stochastik)" title="Varianz (Stochastik)">Varianz</a> Eins (iid(0,1)) besteht. Die Modellparameter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> sowie <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">
<semantics>
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</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> sind positive ganze Zahlen.
</p><p>An die Trend- und die Volatilitätsfunktion werden keine expliziten Anforderungen gestellt, sie sollen lediglich hinreichend glatte Funktionen darstellen. Das NARCH-Modell wird aufgrund seiner Berechnungskomplexität und Anforderungen an die Menge der vorliegenden Daten in dieser ursprünglichen Form selten angewendet.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Erweiterungen">Erweiterungen</h2></div>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="S-NARCH">S-NARCH</h3></div>
<p>Ein spezielles NARCH-Modell stellt das <b>S-NARCH</b>-Modell (<a href="Akronym" title="Akronym">Akronym</a> für <i><b>S</b>ignbased NARCH</i>) dar.<sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Für finanzmathematische Zeitreihen, wie sie beispielsweise an der Börse in Form von Aktienkursen und Indizes vorkommen, kann mit Hilfe der <a href="Technische_Analyse" title="Technische Analyse">technischen Analyse</a> ein spezielles nichtparametrisches ARCH-Modell definiert werden. Hierbei wird die Trenddefinition aus der technischen Analyse auf die Beschaffenheit der Trendfunktion des NARCH-Modells bezogen. Weiterhin fließen Definitionen aus der robusten Regression ein, indem ausschließlich die Folge der Residuen<a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">vorzeichen</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \{\operatorname {Sign} ({\hat {\mu }}_{t}-S_{t})\}_{t\in \mathbb {Z} }}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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<mi>Sign</mi>
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<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>μ<!-- μ --></mi>
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</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>t</mi>
</mrow>
</msub>
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<msub>
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<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>t</mi>
</mrow>
</msub>
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<msub>
<mo fence="false" stretchy="false">}</mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>t</mi>
<mo>∈<!-- ∈ --></mo>
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<mi mathvariant="double-struck">Z</mi>
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</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \{\operatorname {Sign} ({\hat {\mu }}_{t}-S_{t})\}_{t\in \mathbb {Z} }}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/49aa59f640b00f8f1ea182aef19ff79b9602f0f7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.866ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \{\operatorname {Sign} ({\hat {\mu }}_{t}-S_{t})\}_{t\in \mathbb {Z} }}" loading="lazy"></span> bezüglich der geschätzten Trendfunktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mu }}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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<mi>μ<!-- μ --></mi>
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</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mu }}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd4ffaa21cda12fe3da1cfb384b7b22094fefb5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mu }}}" loading="lazy"></span> betrachtet werden. Gleiche aufeinanderfolgende Vorzeichen (sogenannte Runs) dürfen wie in der technischen Analyse gewisse Schwellwerte nicht überschreiten (<a href="Statistische_Signifikanz" title="Statistische Signifikanz">statistische Signifikanz</a>).
Unterschieden wird in kurz-, mittel- und langfristigen Trends, wobei die aus der technischen Analyse abgeleiteten maximalen Runlängen in den Vorzeichenfolgen hierbei etwa 5, 15 und 28 respektive entsprechen.
Mit Hilfe dieser Modellbeschreibung lässt sich sowohl Trend als auch Volatilität und <a href="Wahrscheinlichkeitsverteilung" class="mw-redirect" title="Wahrscheinlichkeitsverteilung">Wahrscheinlichkeitsverteilung</a> des Rauschterms aus den Daten schätzen. Die Modellparameter <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle p}">
<semantics>
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<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle p}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/81eac1e205430d1f40810df36a0edffdc367af36.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; margin-left: -0.089ex; width:1.259ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle p}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle q}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>q</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle q}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06809d64fa7c817ffc7e323f85997f783dbdf71d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.07ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle q}" loading="lazy"></span> sind lediglich interne und implizite Parameter.
Die aus dem Modell resultierenden Funktionsschätzer <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\mu }}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>μ<!-- μ --></mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\mu }}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/bd4ffaa21cda12fe3da1cfb384b7b22094fefb5c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.402ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\mu }}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\hat {\sigma }}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>σ<!-- σ --></mi>
<mo stretchy="false">^<!-- ^ --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\hat {\sigma }}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e130d3780e4fc508e843485b3cfbf8347ba288fb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle {\hat {\sigma }}}" loading="lazy"></span> für den Trend und die Volatilität bestehen aus <a href="Spline" title="Spline">Splines</a>, somit können durch Spline-Extrapolation einfach <a href="Prognosemodell" class="mw-redirect" title="Prognosemodell">Prognosen</a> erstellt werden. Das Ergebnis ist dann neben der Kursprognose auch ein <a href="Konfidenzintervall" title="Konfidenzintervall">Konfidenzintervall</a> für ebendiese Kursprognose.
</p><p>Eine spezielle Eigenschaft dieses Modells ist, dass weder für die Definition noch für die Berechnungen Verteilungsannahmen getroffen werden müssen.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Literatur">Literatur</h2></div>
<ul><li>Jianqing Fan, Qiwei Yao: <i>Nonlinear Time Series.</i> Springer, 2005</li>
<li>John J. Murphy: <i>Technische Analyse der Finanzmärkte.</i> Finanz Buch Verlag, 2003</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>
<ol class="references">
<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Lars Metzner: <i>Ein vorzeichenbasiertes NARCH-Modell für finanzmathematische Zeitreihen.</i> Masterarbeit in Aktuarwissenschaften, Universität Ulm, 2018</span>
</li>
</ol></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
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